Он начал заниматься шахматами в Гомельской СДЮШОР-3 под руководством тренера Марины Терешковой. С августа 2017 года Егор вместе с родителями живёт в американском городке Фостер Сити (Калифорния) и регулярно участвует в турнирах своего возраста, постоянно занимая первые-вторые места. В марте этого года к нему пришёл самый большой успех. Семилетний Егор Гринько стал победителем Национального юношеского шахматного конгресса (национального чемпионата США) в своей возрастной категории (на снимке с родителями и завоёванным трофеем).