4 "школьные" задачи, которые никто не может решить

Источник материала:

Иногда на простые вопросы ответить сложно, а порой — невозможно. Предлагаем вам четыре задачи, которые выглядят простыми, но пока не получили доказанного решения. Их собрал в одной из своих лекций профессор Российской экономической школы Алексей Савватеев.

Хроматическое число плоскости

Можно ли раскрасить все точки плоскости в 7 разных цветов так, чтобы любые две точки на расстоянии 1 сантиметр были раскрашены в разные цвета? Можно! Это будет выглядеть, например, так:

А как насчет трех цветов? Здесь ответ — «нет», это несложно доказать при помощи геометрии.

А вот можно ли раскрасить плоскость в 4, или в 5, или в 6 цветов так, чтобы условие выполнялось? Какое вообще наименьшее число цветов, подходящее для такой раскраски? Ответа на этот «детский» вопрос пока не знает никто, хотя задача известна уже несколько десятилетий.

Нечетные совершенные числа

Число 6 делится на 1, 2 и 3. Если сложить эти делители, получится 6. Шесть — это совершенное число. Так называют числа, которые равны сумме всех своих делителей, отличных от самого́ числа. Вот еще несколько совершенных чисел:

28 (делители — 1, 2, 4, 7, 14, их сумма — 28);

496 (делители — 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, сумма — 496);

8128 (делители — 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064, сумма — 8128).

Все совершенные числа, которые мы знаем, — четные. Существуют ли нечетные совершенные числа? Пока никто не смог ни доказать, ни опровергнуть это.

Проблема простых чисел-близнецов

Простые числа — это числа, у которых есть только два делителя: оно само и единица. Вот несколько первых простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79.

В этом списке можно заметить пары, которые различаются всего на два — например, (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73). Такие простые числа называют близнецами. Если двигаться по списку простых чисел дальше, близнецы будут продолжать встречаться. К примеру, известна пара простых чисел-близнецов, в каждом из которых по 388 342 знака.

Бесконечно ли число простых чисел-близнецов? Ни доказательства, ни опровержения пока нет.

Пятиугольный паркет

Вы наверняка видели паркет на полу. Если упрощенно, паркет в геометрии — это разбиение плоскости многоугольниками без пробелов и перекрытий.

С этим понятием связано множество задач. Например, можно ли замостить поверхность одинаковыми выпуклыми многоугольниками так, чтобы получился паркет? Треугольниками или четырехугольниками — запросто, подойдет любая фигура. Известно 3 класса шестиугольников, способных замостить плоскость.

А вот с пятиугольниками все гораздо сложнее. Долгое время считалось, что есть всего пять классов пятиугольников, которые подходят на роль паркета. В 1960-е и 1970-е обнаружились еще четыре класса. А в 1975 году, когда об этом открытии написал журнал Scientific American, домохозяйка Мардж Райс начала искать новые замощения — и за следующие десять лет нашла еще пять классов.

В 2015 году математики из Вашингтонского университета в Ботелле открыли 15-й тип пятиугольного паркета. Закончились ли варианты на этом? Существует ли 16-й тип? Два года никто не мог ответить на этот вопрос.

В середине 2017 года французский математик Михаэль Рао объявил о закрытии этой задачи. Он перебрал 371 класс пятиугольников и пришел к выводу, что задача решена — новых паркетов не будет. Пока его исследование ожидает публикации в рецензируемом журнале. Если в нем обнаружится ошибка, для профессионалов и любителей со всего мира будет смысл попытаться найти новые варианты.

Читайте также:

Шесть задач, за решение которых заплатят миллион долларов