Воспитанник новополоцкой школы хоккея дебютировал в «Полимире» в 16 лет. После двух сезонов, проведенных в чемпионате Беларуси, он получил приглашение из московского ЦСКА, после которого последовал переезд за океан и сезон в АХЛ, в составе «Хамильтон Бульдогс». Уже в сезоне 2005/06 Костицын-старший дебютировал в НХЛ. Всего в сильнейшей лиге планеты Андрей сыграл 398 матчей, в которых набрал 222 (103+1190) очка, сообщили в ХК «Динамо-Минск».
В сезоне 2012/13 Костицын перешел в КХЛ. Он выступал за челябинский «Трактор», ХК «Сочи», нижегородское «Торпедо» и пекинский «Куньлунь». В КХЛ его статистика такова: 306 матчей, 186 (81+105) очков.
Костицын провел 159 матчей за национальную команду, в которых он забросил 40 шайб. Он принимал участие в девяти чемпионатах мира.